Loi des grands nombres

I Inégalité de Bienayme-Tchebychev

II Loi faible des grands nombres

Index

I Inégalité de Bienayme-Tchebychev

II Loi faible des grands nombres

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I Inégalité de Bienayme-Tchebychev

II Loi faible des grands nombres

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Proposition

Inégalité de Markov : si $X$ est une variable aléatoire positive, alors pour tout $ε > 0$ ,
$P (X \geq ε) \leq \frac{E (X)}{ε}$
inégalité de Bienaymé-Tchebychev : si $Y$ est une variable aléatoire de carré intégrable, alors pour tout $ε > 0$ ,
$P (∣ Y - E (Y) ∣ \geq ε) \leq \frac{Var (Y)}{ε^{2}}$

Démonstration

Pour toute variable aléatoire

X

positive, . En prenant l'espérance de chaque membre de l'inégalité, on obtient . En appliquant cette inégalité à la variable aléatoire , on trouve l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on peut déduire que si X est une variable aléatoire de carré intégrable et non constante alors au moins des valeurs observées de X se trouveront dans l'intervalle .

Plus généralement, pour tout a>0,

Illustration pour une variable aléatoire X de loi Binomiale B(n,p)

Diagramme en bâtons de la loi binomiale B(12,0.43) :
L'espérance est E(X) = 5.16
L'écart-type est (X) = 1.7149927.

Le trait rouge représente l'intervalle . La probabilité que X se trouve dans cet intervalle est 0 (c'est la somme des hauteurs des bâtons dessinés en noir).
Le trait vert représente l'intervalle . La probabilité que X se trouve dans cet intervalle est 0.
Vous pouvez changer les valeurs de n et p aléatoirement ou les choisir vous-même en haut (n leq 50).

II Loi faible des grands nombres

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Théorème

Soit X₁,...,X_n n variables aléatoires indépendantes et de même loi. On suppose que l'espérance de ces variables aléatoires existe et est finie. On la note m. On suppose aussi que leur variance est finie. Alors, pour tout , tend vers 0 lorsque n tend vers

Démonstration

D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, pour tout ,

Exemple

Estimation de la probabilité d'un événement. Soit . On lance n fois de suite une pièce qui a une probabilité p de tomber sur "face" et 1-p de tomber sur "pile" n. Pour , on note A_k l'événement la pièce est tombée sur "face" au k-ième lancer . La variable aléatoire est le nombre de fois où la pièce est tombée sur "face" au cours des n premiers lancers.

D'après la loi des grands nombres, la loi de se concentre autour de p lorsque n tend vers . Plus précisément, pour tout et ,

Illustration

Soit X un variable aléatoire dont la loi est décrite par le tableau suivant

k
P(X = k)

L'espérance de X est et sa variance est Var( X) = E( ( X-E( X ) )²) =

Soit X₁,...,X_n n variables aléatoires de même loi que X et indépendantes obtenues par exemple en effectuant n fois la même expérience aléatoire.
Diagramme en bâtons de la loi de pour n=1, n=10 et n=80 :

illustration de la loi faible des grands nombres.
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