Loi uniforme et simulation d'expériences aléatoires

Loi uniforme et simulations

I Loi uniforme sur (0,1)

II Tirage aléatoire de nombres entre 0 et 1

I Loi uniforme sur (0,1)

Simulation d'expériences aléatoires  ---> I Loi uniforme sur (0,1)

II Tirage aléatoire de nombres entre 0 et 1

Définition

Soit X une v.a. à valeurs dans un ensemble fini 𝒱={v 1,...,v r}. On dit que X suit la loi uniforme sur 𝒱 si P(X=v i)=1r pour tout i{1,...,r}.

Exemple

Le nombre obtenu en lançant un dé bien équilibré est une réalisation d'une variable aléatoire de loi uniforme sur {1,...,6}.

Fonction de répartition de la loi uniforme sur V n= {k/n,1kn} lorsque n = 10.

Vous pouvez augmenter la valeur de n ( n190)

Proposition

Lorsque n tend vers l'infini, la fonction de répartition de la loi uniforme sur V n converge en tout point vers une fonction continue F sur définie par

Démonstration

Notons Fn la fonction de répartition de la loi uniforme sur Vn : si , Fn(t)=0, si Fn(t)=1 et si , où [a] désigne le plus grand entier inférieur ou égal à a. On conclut en utilisant que pour tout réel a, .

II Tirage aléatoire de nombres entre 0 et 1

Simulation d'expériences aléatoires  ---> II Tirage aléatoire de nombres entre 0 et 1
I Loi uniforme sur (0,1)

Tirage aléatoire de 10 nombres dans l'intervalle [0,1] :

La courbe suivante donne, pour chaque réel t, la proportion des nombres tirés qui sont inférieurs ou égaux à t : si désigne les 10 nombres tirés, c'est le graphe de la fonction :

Vous pouvez recommencer la simulation de 10 points ou simuler 20 points de plus (avec au maximum 190 points)

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